Answer
$A=\begin{bmatrix}
1&1\\
0& 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-1&0\\
0& 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&0\\
3& 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&0\\
0& 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&-2\\
0& 1
\end{bmatrix}$
Work Step by Step
We can reduce A to row-echelon form using the following sequence of elementary row operations:
$\begin{bmatrix}
3&-4\\
-1& 2
\end{bmatrix} \approx^1\begin{bmatrix}
-1& 2\\
3&-4
\end{bmatrix} \approx^2\begin{bmatrix}
1& -2\\
3&-4
\end{bmatrix} \approx^3 \begin{bmatrix}
1& -2\\
0&2
\end{bmatrix} \approx^4 \begin{bmatrix}
1& -2\\
0&1
\end{bmatrix} \approx^5 \begin{bmatrix}
1& 0\\
0&1
\end{bmatrix}$
$1.P_{12}$
$2.M_1(-1)$
$3.A_{12}(-3)$
$4.M_{2}(\frac{1}{2})$
$5.A_{21}(2)$
So, elementary matrices are $P_{12},M_1(-1),A_{12}(-3),M_{2}(\frac{1}{2}),A_{21}(2)$
or $E_1=\begin{bmatrix}
0&1\\
1& 0
\end{bmatrix}, E_2=\begin{bmatrix}
-1&0\\
0& 1
\end{bmatrix}, E_3=\begin{bmatrix}
1&0\\
-3& 1
\end{bmatrix}, E_4=\begin{bmatrix}
1&0\\
0& \frac{1}{2}
\end{bmatrix},E_5=\begin{bmatrix}
1&2\\
0& 1
\end{bmatrix}$
$A=E_1E_2E_3E_4E_5A=I_2$
$\rightarrow A=E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}E_4^{-1}E_5^{-1}=\begin{bmatrix}
1&1\\
0& 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-1&0\\
0& 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&0\\
3& 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&0\\
0& 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&-2\\
0& 1
\end{bmatrix}$
