Answer
$A=\begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
2 &1& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 1&0\\
0 &1& 0\\
3 & 0 &1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 &0&0\\
0 &1& 0\\
0 & 1 &1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
0 &4& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
0 &1& \frac{1}{2}\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & -1&0\\
0 &1& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix}$
Work Step by Step
We can reduce A to row-echelon form using the following sequence of elementary row operations:
$\begin{bmatrix}
1&-1 & 0\\
2& 2 &2\\
3 &1 &3
\end{bmatrix} \approx^1\begin{bmatrix}
1&-1 & 0\\
0& 4&2\\
0 &4 &3
\end{bmatrix} \approx^2\begin{bmatrix}
1&-1 & 0\\
0& 4&2\\
0 &0 &1
\end{bmatrix} \approx^3\begin{bmatrix}
1&-1 & 0\\
0& 1&\frac{1}{2}\\
0 &0 &1
\end{bmatrix} \approx^4\begin{bmatrix}
1&-1 & 0\\
0& 1&0\\
0 &0 &1
\end{bmatrix} \approx^5 \begin{bmatrix}
1&0 & 0\\
0& 1&0\\
0 &0 &1
\end{bmatrix}$
$1.A_{12}(-2),A_{13}(-3)$
$2.A_{23}(-1)$
$3.M_2(\frac{1}{4})$
$4.A_{32}(-\frac{1}{2})$
$5.A_{21}(1)$
So, elementary matrices are $A_{12}(-2),A_{13}(-3),A_{23}(-1),M_2(\frac{1}{4}),A_{32}(-\frac{1}{2}),A_{21}(1)$
or $E_1=\begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
-2 &1& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix}, E_2=\begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
0 &1& 0\\
-3 & 0 &1
\end{bmatrix}, E_3=\begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
0 &1& 0\\
0 & -1 &1
\end{bmatrix}, E_4=\begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
0 &\frac{1}{4}& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix},E_5=\begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
0 &1& -\frac{1}{2}\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix},E_6=\begin{bmatrix}
1 & 1&0\\
0 &1& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix}$
$A=E_1E_2E_3E_4E_5E_6A=I_2$
$\rightarrow A=E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}E_4^{-1}E_5^{-1}E_6^{-1}=\begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
2 &1& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 1&0\\
0 &1& 0\\
3 & 0 &1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 &0&0\\
0 &1& 0\\
0 & 1 &1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
0 &4& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
0 &1& \frac{1}{2}\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & -1&0\\
0 &1& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix}$
