Answer
$A=\begin{bmatrix}
1&0\\
-2& 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0&1\\
1& 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&0\\
-2& 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&-1\\
0& 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&0\\
0& -1
\end{bmatrix}$
Work Step by Step
We can reduce A to row-echelon form using the following sequence of elementary row operations:
$\begin{bmatrix}
-2&-3\\
5& 7
\end{bmatrix} \approx^1\begin{bmatrix}
-2&-3\\
1& 1
\end{bmatrix} \approx^2\begin{bmatrix}
1& 1\\
-2&-3
\end{bmatrix} \approx^3 \begin{bmatrix}
1& 1\\
0&-1
\end{bmatrix} \approx^4 \begin{bmatrix}
1& 0\\
0&-1
\end{bmatrix} \approx^5 \begin{bmatrix}
1& 0\\
0&1
\end{bmatrix}$
$1.A_{12}(2)$
$2.P_{12}(-2)$
$3.A_{12}(2)$
$4.A_{21}(1)$
$5.M_{2}(-1)$
So, elementary matrices are $A_{12}(2),P_{12}(-2),A_{12}(2),A_{21}(1),M_{2}(-1)$
or $E_1=\begin{bmatrix}
1&0\\
2& 1
\end{bmatrix},E_2=\begin{bmatrix}
0&1\\
1& 0
\end{bmatrix}, E_3=\begin{bmatrix}
1&0\\
2& 1
\end{bmatrix}, E_4=\begin{bmatrix}
1&1\\
0& 1
\end{bmatrix}, E_5=\begin{bmatrix}
1&0\\
0& -1
\end{bmatrix}$
$A=E_1E_2E_3E_4E_5A=I_2$
$\rightarrow A=E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}E_4^{-1}E_5^{-1}=\begin{bmatrix}
1&0\\
-2& 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0&1\\
1& 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&0\\
-2& 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&-1\\
0& 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&0\\
0& -1
\end{bmatrix}$
