Answer
$A=\begin{bmatrix}
0 & 1&0\\
1 &0& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
0 &1& 0\\
-2 & 0 &1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 &0&0\\
0 &1& 0\\
0 & 1 &8
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
0 &1& -2\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 0&3\\
0 &1& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
0 &-4& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & -1&0\\
0 &1& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix}$
Work Step by Step
We can reduce A to row-echelon form using the following sequence of elementary row operations:
$\begin{bmatrix}
0&-4 & -2\\
1& -1 &3\\
-2 &2 &2
\end{bmatrix} \approx^1\begin{bmatrix}
1& -1 &3 \\
0&-4 & -2\\
-2 &2 &2
\end{bmatrix} \approx^2\begin{bmatrix}
1& -1 &3 \\
0&-4 & -2\\
0 &0 &8
\end{bmatrix} \approx^3\begin{bmatrix}
1& -1 &3 \\
0&-4 & -2\\
0 &0 &1
\end{bmatrix} \approx^4\begin{bmatrix}
1& -1 &3 \\
0&-4 & 0\\
0 &0 &1
\end{bmatrix} \approx^5 \begin{bmatrix}
1& -1 &0 \\
0&-4 & 0\\
0 &0 &1
\end{bmatrix} \approx^6 \begin{bmatrix}
1& -1 &0 \\
0&1& 0\\
0 &0 &1
\end{bmatrix} \approx^7 \begin{bmatrix}
1&0 &0 \\
0&1 & 0\\
0 &0 &1
\end{bmatrix} $
$1.P_{12}(-2)$
$2.A_{13}(2)$
$3.M_3(\frac{1}{8})$
$4.A_{32}(2)$
$5.A_{31}(-3)$
$6.M_{2}(-\frac{1}{4})$
$7.A_{21}(1)$
So, elementary matrices are $P_{12}(-2),A_{13}(2),M_3(\frac{1}{8}),A_{32}(2),A_{31}(-3),M_{2}(-\frac{1}{4}),A_{21}(1)$
or $E_1=\begin{bmatrix}
0 & 1&0\\
1 &0& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix}, E_2=\begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
0 &1& 0\\
2 & 0 &1
\end{bmatrix}, E_3=\begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
0 &1& 0\\
0 &0 &\frac{1}{8}
\end{bmatrix}, E_4=\begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
0 &1& 2\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix},E_5=\begin{bmatrix}
1 & 0&-3\\
0 &1& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix},E_6=\begin{bmatrix}
1 & 1&0\\
0 &-\frac{1}{4}& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix},E_7=\begin{bmatrix}
1 & 1&0\\
0 &1& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix}$
$A=E_1E_2E_3E_4E_5E_6E_7A=I_2$
$\rightarrow A=E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}E_4^{-1}E_5^{-1}E_6^{-1}E_7^{-1}=\begin{bmatrix}
0 & 1&0\\
1 &0& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
0 &1& 0\\
-2 & 0 &1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 &0&0\\
0 &1& 0\\
0 & 1 &8
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
0 &1& -2\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 0&3\\
0 &1& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 0&0\\
0 &-4& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & -1&0\\
0 &1& 0\\
0 & 0 &1
\end{bmatrix}$
