Answer
$y=8+8e^{\frac{-1}{2}t}-18e^{\frac{-1}{3}t}$
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Let $\;\;\;\;\;y=e^{rt}\\\\$
$6{y}'''+5{y}''+{y}'=0 \;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\; 6r^3e^{rt}+5r^2e^{rt}+re^{rt}=0\\\\$
$6r^3+5r^2+r=r(2r+1)(3r+1)=0 $$\rightarrow\;\;\;\;\; r_{1}= 0\;\;\;\;\;or\;\;\;r_{2}=\frac{-1}{2}\;\;\;or\;\;\;\;r_{3}=\frac{-1}{3} \;\;\;\;\;\\\\$
So the 3 roots is: $\;\;\;r_{1}=0 \;\;\;,\;\;r_{2}=\frac{-1}{2} \;\;\;,\;\;\;r_{3}=\frac{-1}{3}$
$y= C_{1}+C_{2}e^{\frac{-1}{2}t}+C_{3}e^{\frac{-1}{3}t}$
Derivatives of the general solution;
${y}'=-\frac{1}{2}C_{2}e^{\frac{1}{2}t}-\frac{1}{3} C_{3}e^{\frac{-1}{3}t}$
${y}''=\frac{1}{4}C_{2}e^{\frac{-1}{2}t}+\frac{1}{9} C_{3}e^{\frac{-1}{3}t}$
At;
$y(0)=C_{1}+C_{2}+C_{3}=-2 $
${y}'(0)=-\frac{1}{2}C_{2}-\frac{1}{3} C_{3}=2 $
${y}''(0)=\frac{1}{4}C_{2}+\frac{1}{9} C_{3}=0$
$\;\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;C_{1}=8\;\;\;\;\;\;\;C_{2}=8\;\;\;\;\;\;C_{3}=-18 \;\;\;\;\;\; $
$\therefore y=8+8e^{\frac{-1}{2}t}-18e^{\frac{-1}{3}t}$
