Answer
$y=C_{1}+C_{2} e^{t}+C_{3}e^{2t} + [\;C_{4}cos(t)+ C_{5}sin(t)\;]$
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Let $\;\;\;\;y=e^{rt}\\\\$
$y^{(5)}-3y^{(4)}+3{y}'''-3{y}''+2{y}'=0 \;\;\;\; \Rightarrow \;\;\; r^5e^{rt}-3r^4e^{rt}+3r^3e^{rt}-3r^2e^{rt}+2re^{rt}=0\\\\$
$r^5-3r^4+3r^3-3r^2+2r=r(r^2+1)(r-1)(r-2)=0 \;\;\;\; $$\rightarrow \;\;\;\;\;\; r_{1}=0\;\;\;\;or\;\;\;\;r_{2}=i,r_{3}=-i\;\;\;\;or\;\;\;\; r_{4}=1\;\;\;\;or\;\;\;\;r_{5}=2\\\\$
$y=C_{1}+C_{2} e^{t}+C_{3}e^{2t} + [\;C_{4}cos(t)+ C_{5}sin(t)\;]$
