Answer
$y=e^{-t} [\;C_{1}cos(t)+C_{2}sin(t)\;]+e^{-2t}[\;C_{3}cos(\sqrt{3}t)+C_{4}sin(\sqrt{3}t)\;]\\$
Work Step by Step
Let $\;\;\;\;\;y=e^{rt}\\\\$
$y^{(4)}+6{y}'''+17{y}''+22{y}'+14y=0 \;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\; r^4e^{rt}+6r^3e^{rt}+17r^2e^{rt}+22re^{rt}+14e^{rt}=0\\\\$
$r^4+6r^3+17r^2+22r+14=(r^2+2r+2)(r^2+4r+7)=0 $$ \rightarrow\;\;\;\;\; r_{1}= -1+i\;\;,\;r_{2}=-1-i\;\;\;\;\;\;\;or\;\;\;\;\;\;r_{3}=-2-i\sqrt{3}\;,\;\;r_{4}=-2-i\sqrt{3} \;\;\;\;\;\;\\\\$
So the 4 roots are: $\;\;\;r_{1},r_{2}=-1\pm i \;\;\;,\;\;r_{3},r_{4}=-2\pm i\sqrt{3}$
The general solution for complex roots is:
$y= C_{1}e^{\alpha t}cos(\beta t)+C_{2}e^{\alpha t}sin(\beta t)$
$y= [\;C_{1}e^{-t}cos(t)+C_{2}e^{- t}sin(t)\;]+[\;C_{3}e^{(-2 t}cos(\sqrt{3}t)+C_{4}e^{-t}sin(\sqrt{3}t)\;]\\$
$y=e^{-t} [\;C_{1}cos(t)+C_{2}sin(t)\;]+e^{-2t}[\;C_{3}cos(\sqrt{3}t)+C_{4}sin(\sqrt{3}t)\;]\\$
