Answer
$y=\frac{-2}{3}e^{t}+\frac{-1}{10}e^{2t}+\frac{-1}{6} e^{-2t}+\frac{-16}{15}e^{\frac{-1}{2}t}$
Work Step by Step
Let $\;\;\;\;\;y=e^{rt}\\\\$
$2y^{(4)}-{y}'''-9{y}''+4{y}'+4y=0 \;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\; 2r^4e^{et}-r^3e^{rt}-9r^2e^{rt}+4re^{rt}+e^{rt}=0\\\\$
$r^4-r^3-9r^2+4r+4=(r-1)(r-2)(r+2)(2r+1)=0 $ $ \rightarrow\;\;\;\;\; r_{1}= 1\;\;\;\;\;or\;\;\;r_{2}=2\;\;\;\;\;\;\;or\;\;\;\;r_{3}=-2 \;\;\;\;\;or\;\;\;r_{4}=\frac{-1}{2}\\\\$
So the 3 roots are:$\;\;\;\;\;\; r_{1}=1 \;\;\;,\;\;r_{2}=2\;\;\;\;\;\;r_{3}=-2 \;\;\;,\;\;\; r_{4}=\frac{-1}{2}$
$y= C_{1}e^{t}+C_{2}e^{2t}+C_{3}e^{-2t}+C_{4}e^{\frac{-1}{2}t}$
Derivatives of the general solution;
${y}'=C_{1}e^t+2C_{2}e^{2t}-2C_{3}e^{-2t}-\frac{1}{2}C_{4}e^{\frac{-1}{2}t}$
${y}''=C_{1}e^t+4C_{2}e^{2t}+4C_{3}e^{-2t}+\frac{1}{4}C_{4}e^{\frac{-1}{2}t}$
${y}'''=C_{1}e^t+8C_{2}e^{2t}-8C_{3}e^{-2t}-\frac{1}{8}C_{4}e^{\frac{-1}{2}t}$
At;
$y(0)=C_{1}+C_{2}+C_{3}+C_{4}=-2 $
${y}'(0)=C_{1}+2C_{2}-2C_{3}-\frac{1}{2}C_{4}=0 $
${y}''(0)=C_{1}+4C_{2}+4C_{3}+\frac{1}{4}C_{4}=-2$
${y}'''(0)=C_{1}+8C_{2}-8C_{3}-\frac{1}{8}C_{4}=0 $
$\;\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;C_{1}=\frac{-2}{3}\;\;\;\;\;\;C_{2}=\frac{-1}{10}\;\;\;\;\;\;\;C_{3}=\frac{-1}{6} \;\;\;\;\;\; C_{4}=\frac{-16}{15}$
$\therefore y=\frac{-2}{3}e^{t}+\frac{-1}{10}e^{2t}+\frac{-1}{6} e^{-2t}+\frac{-16}{15}e^{\frac{-1}{2}t}$
