Answer
$(a)W(t)=C \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(b)W(t)=-8 \;\;\;\;\;\;\;\;(c)W(t)=4$
Work Step by Step
a) $\;\;\;y^{(4)}-y=0$
$W(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})(t)=Ce^{-\int p_{1}(t)\; dt} \;\;\;\;\;\;at \;\;\;\;\;p_{1}=0$
$W(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})(t)=Ce^{-\int 0\; dt} =C$
b)$\;\;\;W(e^t,e^{-t},cos(t),sin(t))= \begin{vmatrix} e^t & e^{-t} & cos(t) & sin(t) \\ e^t & -e^{-t} & -sin(t) & cos(t) \\ e^t & e^{-t} & -cos(t) & -sin(t)\\ e^t & -e^{-t} & sin(t) & -cos(t) \end{vmatrix}\\\\\\$
$W(e^t,e^{-t},cos(t),sin(t))=e^t\begin{vmatrix} -e^{-t} & -sin(t) & cos(t) \\ e^{-t} & -cos(t) & -sin(t)\\ -e^{-t} & sin(t) & -cos(t) \end{vmatrix}\;\;-\;\;e^{-t}\begin{vmatrix} e^t & -sin(t) & cos(t) \\ e^t & -cos(t) & -sin(t)\\ e^t & sin(t) & -cos(t) \end{vmatrix}\;\;+\;cos(t)\begin{vmatrix} e^t & -e^{-t} & cos(t) \\ e^t & e^{-t} & -sin(t)\\ e^t & -e^{-t} & -cos(t) \end{vmatrix}\;\;-\;sin(t)\begin{vmatrix} e^t & -e^{-t} & -sin(t) \\ e^t & e^{-t} & -cos(t) \\ e^t & -e^{-t} & sin(t) \end{vmatrix}\\\\$
$W(e^t,e^{-t},cos(t),sin(t))=e^t(-2e^{-t})-e^{-t}(2e^t)+cos(t)(-4sin(t))-sin(t)(4sin(t))=-4-4=-8$
c)$\;\;\;W(cosh(t),sin(t),cos(t),sin(t))=\begin{vmatrix} cosh(t) & sinh(t) & cos(t) & sin(t) \\ sinh(t) & cosh(t) & -sin(t) & cos(t) \\ cosh(t) & sinh(t) & -cos(t) & -sin(t)\\ sin(t) & cosh(t) & sin(t) & -cos(t) \end{vmatrix}\\\\\\$
$W(cosh(t),sin(t),cos(t),sin(t))=cosh(t)\begin{vmatrix} cosh(t) & -sin(t) & cos(t) \\ sinh(t) & -cos(t) & -sin(t)\\ cosh(t) & sin(t) & -cos(t) \end{vmatrix}\;\;-\;\;sinh(t)\begin{vmatrix} sinh(t) & -sin(t) & cos(t) \\ cosh(t) & -cos(t) & -sin(t)\\ sinh(t) & sin(t) & -cos(t) \end{vmatrix}\;\;+\;cos(t)\begin{vmatrix} sinh(t) & cosh(t) & cos(t) \\ cosh(t) & sinh(t) & -sin(t)\\ sinh(t) & cosh(t) & -cos(t) \end{vmatrix}\;\;-\;sin(t)\begin{vmatrix} sinh(t) & cosh(t) & -sin(t) \\ cosh(t) & sinh(t) & -cos(t) \\ sinh(t) & cosh(t) & sin(t) \end{vmatrix}\\\\$
$W(cosh(t),sin(t),cos(t),sin(t))=cosh(t)(2cosh(t))-sinh(t)(2sinh(t))+cos(t)(2cos(t))-sin(t)(-2sin(t))=2+2=4$
