Answer
$y=C_{1}+C_{2} e^{t}+ [\;C_{3}e^{-t}cos(\sqrt{3} t)+ C_{4}e^{-t}sin(\sqrt{3} t)\;]$
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Let $\;\;\;\;\;y=e^{rt}\\\\$
$y^{(4)}-8{y}'=0 \;\;\;\;\Rightarrow \;\;\; r^4e^{rt}-8re^{rt}=0\\\\$
$r^4-8r=r(r-1)(r^2+2r+4)=0 \;\;\;\;$$\;\rightarrow \;\;\;\; r_{1}=0\;\;\;\;\;\;or\;\;\;\;\;r_{2}=1\;\;\;\;\;or\;\;\;\;\; r_{4}=-1+i\sqrt{3}\;,r_{5}=-1-i\sqrt{3}\;\;\;\\\\$
$y=C_{1}+C_{2} e^{t}+ [\;C_{3}e^{-t}cos(\sqrt{3} t)+ C_{4}e^{-t}sin(\sqrt{3} t)\;]$
