Answer
$y=[C_{1}e^{\frac{\sqrt{3}}{2} t}cos(\frac{1}{2} t)+C_{2}e^{\frac{\sqrt{3}}{2} t}sin(\frac{1}{2} t)] + [C_{3}e^{-\frac{\sqrt{3}}{2} t}cos(\frac{1}{2} t)+C_{4}e^{-\frac{\sqrt{3}}{2} t}sin(\frac{1}{2} t)] + [C_{5}cos( t)+C_{6}sin( t)]$
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Let $\;\;\;\;\;\;\;\;y=e^{rt}\\\\$
$y^{6}+y=0 \;\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;\; r^6e^{rt}+e^{rt}=0\\\\$
$r^6+1=0 \;\;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; r=\sqrt[6]{-1}\\\\$
$r=(-1)^{\frac{1}{6}}= e^{i\frac{n \pi}{6}} = cos (\frac{n \pi}{6})+isin\frac{n \pi}{6}$
At $\;\;\;\;\;n=\{1,2,3,4,5,6\}$
$r_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$
$r_{2}=i$
$r_{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$
$r_{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}$
$r_{5}=-i$
$r_{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}$
So the six roots is:$\;\;\;\;\;\frac{\sqrt{3}}{2}\pm\frac{i}{2} \;\;\;\;\;,\;\;\;\;\; -\frac{\sqrt{3}}{2}\pm\frac{i}{2} \;\;\;\;\;\;\; , \;\;\;\;\;\; \pm i$
The general solution for complex roots is:
$y= C_{1}e^{\alpha t}cos(\beta t)+C_{2}e^{\alpha t}sin(\beta t)$
$y=[C_{1}e^{\frac{\sqrt{3}}{2} t}cos(\frac{1}{2} t)+C_{2}e^{\frac{\sqrt{3}}{2} t}sin(\frac{1}{2} t)] + [C_{3}e^{-\frac{\sqrt{3}}{2} t}cos(\frac{1}{2} t)+C_{4}e^{-\frac{\sqrt{3}}{2} t}sin(\frac{1}{2} t)] + [C_{5}cos( t)+C_{6}sin( t)]$
