Answer
$y=\frac{2}{13}e^{-t}+\frac{24}{13}e^{\frac{1}{2}t}cos(t)+\frac{3}{13}e^{\frac{1}{2}t}sin(t)$
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Let $\;\;\;\;\;y=e^{rt}\\\\$
$4{y}'''+{y}'+5y=0 \;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\; 4r^3e^{rt}+re^{rt}+5e^{rt}=0\\\\$
$4r^3+r+5=(r+1)(4r^2-4r+5)=0 $ $ \rightarrow\;\;\;\;\; r_{1}= -1\;\;\;\;\;or\;\;\;r_{2}=\frac{1}{2}+i\;\;,\;\;r_{3}=\frac{1}{2}-i \;\;\;\;\;\\\\$
So the 3 roots are: $\;\;\;\;r_{1}=-1 \;\;\;,\;\;r_{2},r_{3}=\frac{1}{2}\pm i$
The general solution for complex roots is:
$y= C_{1}e^{\alpha t}cos(\beta t)+C_{2}e^{\alpha t}sin(\beta t)$
$y= C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{\frac{1}{2}t}cos(t)+C_{3}e^{\frac{1}{2}t}sin(t)$
Derivatives of the general solution;
${y}'=-C_{1}e^{-t}+\frac{1}{2}C_{2}e^{\frac{1}{2}t}cos(t)+C_{3}e^{\frac{1}{2}t}cos(t)-C_{2}e^{\frac{1}{2}t}sin(t)+\frac{1}{2}C_{3}sin(t)$
${y}''=C_{1}e^{-t}-\frac{3}{4}C_{2}e^{\frac{1}{2}t}cos(t)+C_{3}e^{\frac{1}{2}t}cos(t)-C_{2}e^{\frac{1}{2}t}sin(t)-\frac{3}{4}C_{3}e^{\frac{1}{2}t}sin(t)$
At;
$y(0)=C_{1}+C_{2}=0$
${y}'(0)=C_{1}+2C_{2}-2C_{3}-\frac{1}{2}C_{4}=0 $
${y}''(0)=-C_{1}+\frac{1}{2}C_{2}+C_{3}=1 $
${y}'''(0)=C_{1}-\frac{3}{4}C_{2}+C_{3}=-1$
$\;\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;C_{1}=\frac{2}{13}\;\;\;\;\;\;\;C_{2}=\frac{24}{13}\;\;\;\;\;\;C_{3}=\frac{3}{13} \;\;\;\;\;\; $
$\therefore y=\frac{2}{13}e^{-t}+\frac{24}{13}e^{\frac{1}{2}t}cos(t)+\frac{3}{13}e^{\frac{1}{2}t}sin(t)$
