Answer
(a) $ -\infty $
(b) $\infty $
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(a) \begin{align*}
\lim_{x\to \infty}f(x)&= \lim_{x\to \infty} \frac{5x^8-2x^3+9}{ 3+x-4x^5}\\
&=\lim_{x\to \infty} \frac{5x^8/x^5-2x^3/x^5+9/x^5}{ 3/x^5+x/x^5-4x^5/x^5}\\
&= \frac{5\lim_{x\to \infty}( x^3)-2\lim_{x\to \infty}(1/x^2)+9\lim_{x\to \infty}(1/x^5)}{\lim_{x\to \infty}( 3/x^5)+\lim_{x\to \infty}(1/x^4)-4\lim_{x\to \infty}(1)}\\
&= \frac{5\lim_{x\to \infty}( x^3) }{-4 }\\
&= -\infty
\end{align*}
(b) \begin{align*}
\lim_{x\to -\infty}f(x)&= \lim_{x\to- \infty} \frac{5x^8-2x^3+9}{ 3+x-4x^5}\\
&=\lim_{x\to -\infty} \frac{5x^8/x^5-2x^3/x^5+9/x^5}{ 3/x^5+x/x^5-4x^5/x^5}\\
&= \frac{5\lim_{x\to -\infty}( x^3)-2\lim_{x\to -\infty}(1/x^2)+9\lim_{x\to -\infty}(1/x^5)}{\lim_{x\to- \infty}( 3/x^5)+\lim_{x\to- \infty}(1/x^4)-4\lim_{x\to -\infty}(1)}\\
&= \frac{5\lim_{x\to \infty}( x^3) }{-4 }\\
&= \infty
\end{align*}