Answer
$$\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2+x}-\frac{1}{2}}{x}=-\frac{1}{4}$$
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$$A=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2+x}-\frac{1}{2}}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{2-(2+x)}{2(2+x)}}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{-x}{2(2+x)}}{x}$$
$$A=\lim_{x\to0}\frac{-x}{2x(2+x)}=\lim_{x\to0}\frac{-1}{2(2+x)}$$
$$A=\frac{-1}{2(2+0)}=-\frac{1}{4}$$
