Answer
$- \dfrac{1}{2} e^{-x} \cos x- \dfrac{1}{2}e^{-x} \sin x +C$
Work Step by Step
Our aim is to solve the integral $ \int e^{-x} \sin x dx$
Use integration by parts formula.
$ \int e^{-x} \sin x dx=- e^{-x} \cos x- \int e^{-x} \cos x dx \\=- e^{-x} \cos x- e^{-x} \sin x dx- \int e^{-x} \sin x dx+C$
or, $ \int e^{-x} \sin x dx=- e^{-x} \cos x- e^{-x} \sin x - \int e^{-x} \sin x dx+C$
or, $ \int e^{-x} \sin x dx+ \int e^{-x} \sin x dx=- e^{-x} \cos x- e^{-x} \sin x +C$
or, $ 2 \int e^{-x} \sin x dx=- e^{-x} \cos x- e^{-x} \sin x +C$
or, $ \int e^{-x} \sin x dx=- \dfrac{1}{2} e^{-x} \cos x- \dfrac{1}{2}e^{-x} \sin x +C$
