Answer
$A^{-1}=\left[\begin{array}{lll}
1/2 & 0 & 0\\
0 & 1/4 & 0\\
0 & 0 & 1/6
\end{array}\right]$
Work Step by Step
1. Form $[A|I] $
2. Row operations:
$\left[\begin{array}{lllllll}
2 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\
0 & 4 & 0 & | & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 6 & | & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}
\div 2\\
\div 4\\
\div 6
\end{array}\right.$
$\left[\begin{array}{lllllll}
1 & 0 & 0 & | & 1/2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & | & 0 & 1/4 & 0\\
0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1/6
\end{array}\right]$
3. We have obtained $[I|B], B=A^{-1}$
$A^{-1}=\left[\begin{array}{lll}
1/2 & 0 & 0\\
0 & 1/4 & 0\\
0 & 0 & 1/6
\end{array}\right]$
Checking:
$AA^{-1}=$
$\left[\begin{array}{lll}
2(\frac{1}{2})+0+0 & 0+0+0 & 0+0+0\\
0+0+0 & 0+4(\frac{1}{4})+0 & 0+0+0\\
0+0+0 & 0+0+0 & 0+0+6(\frac{1}{6})
\end{array}\right]=I_{3}$
$A^{-1}A=$
$\left[\begin{array}{lll}
(\frac{1}{2})(2)+0+0 & 0+0+0 & 0+0+0\\
0+0+0 & 0+(\frac{1}{4})(4)+0 & 0+0+0\\
0+0+0 & 0+0+0 & 0+0+(\frac{1}{6})(6)
\end{array}\right]=I_3$
