Answer
Yes
Work Step by Step
We are given the matrices:
$A=\begin{bmatrix}1&-2&1&0\\0&1&-2&1\\0&0&1&-2\\0&0&0&1\end{bmatrix}$
$B=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{bmatrix}$
In order to check if $B$ is the multiplicative inverse of $A$, we have to compute $AB$ and $BA$ and see if $AB=BA=I_4$.
Compute $AB$:
$AB=\begin{bmatrix}1&-2&1&0\\0&1&-2&1\\0&0&1&-2\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}1+0+0+0&2-2+0+0&3-4+1+0&4-6+2+0\\0+0+0+0&0+1+0+0&0+2-2+0&0+3-4+1\\0+0+0+0&0+0+0+0&0+0+1+0&0+0+2-2\\0+0+0+0&0+0+0+0&0+0+0+0&0+0+0+1\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$
$=I_4$
Compute $BA$:
$BA=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-2&1&0\\0&1&-2&1\\0&0&1&-2\\0&0&0&1\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}0-2+0+3&0+0+0+0&-2+2+0+0&1+2+0-3\\0-1+0+1&0+0+1+0&0+1-1+0&0+1+0-1\\0-1+0+1&0+0+0+0&0+1+0+0&0+1+0-1\\0-2+0+2&0+0+0+0&-2+2+0+0&1+2+0-2\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$
$=I_4$
As $AB=BA=I_4$, $B$ is the multiplicative inverse of $A$.
