Answer
(a) $\langle p, q \rangle =2$
(b) $\| p \| = \frac{3}{2}$
(c) $\| q \| =\ \sqrt{5}$
(d) $d(p,q)=\sqrt{\frac{13}{4}}$
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$p(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2, \quad q(x)=1+2x^2$
(a) $\langle p, q \rangle = a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2= 1+ 1=2$
(b) $\| p \| =\sqrt{\langle p, p\rangle}=\sqrt{a_0^2+a_1^2+a_3^2}=\sqrt{1+1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}$
(c) $\| q \| =\sqrt{\langle q, q\rangle}=\sqrt{b_0^2+b_1^2+b_3^2}=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}$
(d) $d(p,q)=\| p-q \|=\| x- \frac{3}{2}x^2 \|=\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{13}{4}}$
