Answer
$$\ln |x+2|+\frac{5}{x+2}-\frac{3}{(x+2)^{2}}+C$$
Work Step by Step
Given $$\int \frac{\left(x^{2}-x\right) d x}{(x+2)^{3}}$$
Since
\begin{aligned}
\frac{\left(x^{2}-x\right)}{(x+2)^{3}} &=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x+2)^{2}}+\frac{C}{(x+2)^{3}} \\
&=\frac{A(x+2)^{2}+B(x+2)+C}{(x+2)^{3}} \\
x^{2}-x &=A(x+2)^{2}+B(x+2)+C
\end{aligned}
Then
\begin{align*}
\text{at } x&=-2 \ \ \ \ \to C=6 \\
\text{coefficient of } x^2&\to \ \ \ \ \to A=1 \\
\text{coefficient of } x&\to \ \ \ \ \to B=-5
\end{align*}
Then
\begin{aligned}
\int \frac{\left(x^{2}-x\right) d x}{(x+2)^{3}} &=\int \frac{1}{(x+2)} d x-5 \int \frac{1}{(x+2)^{2}} d x+6 \int \frac{1}{(x+2)^{3}} d x \\
&=\int \frac{1}{(x+2)} d x-5 \int(x+2)^{-2} d x+6 \int(x+2)^{-3} d x \\
&=\ln |x+2|+\frac{5}{x+2}-\frac{3}{(x+2)^{2}}+C
\end{aligned}
