Answer
$[2+x^2]_C=(3,3,-1)\\
[-1-6x+8x^2]_C=(-4,2,3)\\
[-7-3x-9x^2]_C=(-2,1,-5) \\
P_{C \leftarrow B}=\begin{bmatrix}
1& -4 & -2\\
3 & 2 & 1\\
-1 & 3 & -5
\end{bmatrix}$
Work Step by Step
We know that:
$a_1(1+x)+a_2(-x+x^2)+a_3(1+2x^2)=2+x^2$
$b_1(1+x)+b_2(-x+x^2)+b_3(1+2x^2)=-1-6x+8x^2$
$c_1(1+x)+c_2(-x+x^2)+c_3(1+2x^2)=-7-3x-9x^2$
To find $[2+x^2]_C$: $a_1(1+x)+a_2(-x+x^2)+a_3(1+2x^2)\\
=a_1+a_1x-a_2x+a_2x^2+a_3+2a_3x^2\\
=(a_1+a_3)+x(a_1-a_2)+x^2(a_2+2a_3)\\
=2+x^2$
Thus $a_1+a_3=2\\
a_1-a_2=0 \\
a_2+2a_3=1$
Then $-2(a_1+a_3)+a_1-a_2+a_2+2a_3=-3 \rightarrow a_1=3\\
3+a_3=2 \rightarrow a_3=-1 \\
a_2+2(-1)=1 \rightarrow a_2=3$
To find $[-1-6x+8x^2]_C$: $b_1(1+x)+b_2(-x+x^2)+b_3(1+2x^2)\\
=b_1+b_1x-b_2x+b_2x^2+b_3+2b_3x^2\\
=(b_1+b_3)+x(b_1-b_2)+x^2(b_2+2b_3)\\
=-1-6x+8x^2$
Thus $b_1+b_3=-1\\
b_1-b_2=-6 \\
b_2+2b_3=8$
Then $-2(b_1+b_3)+b_1-b_2+b_2+2b_3=4 \rightarrow b_1=-4\\
-4+b_3=-1 \rightarrow b_3=3 \\
-4-b_2=-6 \rightarrow b_2=3$
To find $[-7-3x-9x^2]_C$: $c_1(1+x)+c_2(-x+x^2)+c_3(1+2x^2)\\
=c_1+c_1x-c_2x+c_2x^2+c_3+2c_3x^2\\
=(c_1+c_3)+x(c_1-c_2)+x^2(c_2+2c_3)\\
=-7-3x-9x^2$
Thus $c_1+c_3=-7\\
c_1-c_2=-3 \\
c_2+2c_3=-9$
Then $-2(c_1+c_3)+c_1-c_2+c_2+2c_3=2 \rightarrow c_1=-2\\
-2+c_3=-7 \rightarrow c_3=-5 \\
-2-c_2=-3\rightarrow c_2=1$
Hence we have: $[2+x^2]_C=(3,3,-1)\\
[-1-6x+8x^2]_C=(-4,2,3)\\
[-7-3x-9x^2]_C=(-2,1,-5) \\
P_{C \leftarrow B}=\begin{bmatrix}
1& -4 & -2\\
3 & 2 & 1\\
-1 & 3 & -5
\end{bmatrix}$
