Answer
$(2a_0-a_1-a_2,2a_0-2a_1-a_2, -a_0+a_1+a_2)$
Work Step by Step
We know that $a(1+x)+b(x(x-1))+c(1+2x^2)=(a_0,a_1x,a_x x^2)$
Thus $a+c=a_0\\
a-b=a_1\\
b+2c=a_2$
Thus $a+c-(a-b)=a_0-a_1 \rightarrow b+c=a_0-a_1 $
Thus $b+2c-(b+c)=a_2-(a_0-a_1) \rightarrow c=-a_0+a_1+a_2$
Thus $a+(-a_0+a_1+a_2)=a_0 \rightarrow a=2a_0-a_1-a_2$
Thus $2a_0-a_1-a_2-b=a_1 \rightarrow b=2a_0-2a_1-a_2$
Thus the vector is $(2a_0-a_1-a_2,2a_0-2a_1-a_2, -a_0+a_1-+a_2)$.
