Answer
$[(7-4x)]_C=(3,2)\\
[5x]_C=(-2,1)\\
P_{C \leftarrow B}=\begin{bmatrix}
3& -2\\
2 & 1
\end{bmatrix}$
Work Step by Step
We know that:
$a_1(1-2x)+a_2(2+x)=(7-4x)$
$b_1(1-2x)+b_2(2+x)=5x$
To find $[7-4x]_C$: $a_1(1-2x)+a_2(2+x)=(7-4x)\\
a_1-2a_1x+2a_2+a_2x=7-4x\\
(a_1+2a_2)+(-2a_1+a_2)=7-4x\\$
Thus $a_1+2a_2=7\\
-2a_1+a_2=-4 \\
a_1+2a_2-2(-2a_1+a_2)=7-2(-4) \rightarrow 5a_1=15 \rightarrow a_1=3\\
-2.3+a_2=-4 \rightarrow a_2=2$
To find $[5x]_{C}:$
$b_1(1-2x)+b_2(2+x)=5x\\
b_1-2b_1x+2b_2+b_2x=5x\\
(b_1+2b_2)+x(-2b_1+b_2)=5x$
Thus $b_1+2b_2=0\\
-2b_1+b_2=5\\
b_1+2b_2-2(-2b_1+b_2)=0-2.5 \rightarrow 5b_1=-10 \rightarrow b_1=-2\\
-2(-2)+b_2=5 \rightarrow b_2=1$
Hence we have: $[(7-4x)]_C=(3,2)\\
[5x]_C=(-2,1)\\
P_{C \leftarrow B}=\begin{bmatrix}
3& -2\\
2 & 1
\end{bmatrix}$
