Answer
$x_1=A^{-1}e_1=\begin{bmatrix}
25 \\
3\\
-7
\end{bmatrix} $
$x_2=A^{-1}e_2=\begin{bmatrix}
-7 \\
-1\\
2
\end{bmatrix} $
$x_3=A^{-1}e_3=\begin{bmatrix}
4 \\
1\\
-1
\end{bmatrix} $
Work Step by Step
Use the GaussJordan Technique to determine the inverse of A:
$\begin{bmatrix}
1 & -1 & 3|1 & 0 & 0\\
4&-3 & 13 | 0 &1 & 0\\
1 & 1& 4 | 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \approx^1
\begin{bmatrix}
1&4 & 2| 0 &1 & 0\\
-2 & -3 & 1| 1 &0 & 0\\
0& 5& 3| 0 &0 & 1
\end{bmatrix} \approx^2\begin{bmatrix}
1&-1 & 3| 1 &0 & 0\\
0 & 1 & 1| -4 &1 & 0\\
0& 2& 1| -1 &0 & 1
\end{bmatrix} \approx^3 \begin{bmatrix}
1&-1 & 3| 1 &0 & 0\\
0 & 1 & 1| -4&1 & 0\\
0& 0& -1| 7 &-2 & 1
\end{bmatrix} \approx^4 \begin{bmatrix}
1&-1 & 3| 1 &0& 0\\
0 & 1 & 1| -4&1 & 0\\
0& 0& 1 | -7 & 2& -1
\end{bmatrix} \approx^5 \begin{bmatrix}
1&0 &4| -3&1 & 0\\
0 & 1 & 1| -4 &1 & 0\\
0& 0& 1 | -7 & 2 & -1
\end{bmatrix} \approx^6 \begin{bmatrix}
1&0 & 0| 25 &-7 & 4\\
0 & 1 & 0| 3&-1 & 1\\
0& 0& 1 | -7& 2& -1
\end{bmatrix}$
$1.A{12}(-4),A_{13}(-1)$
$2.A_{23}(-2)$
$3.M_3(-1)$
$4.A_{21}(1)$
$5. A_{31}(-4),A_{32}(-1)$
Hence here, $A^{-1}=\begin{bmatrix}
25 &-7 & 4\\
3&-1 & 1\\
-7& 2& -1
\end{bmatrix} $
Since $Ax_i=e_i$
hence here $x_1=A^{-1}e_1=\begin{bmatrix}
25 \\
3\\
-7
\end{bmatrix} $
$x_2=A^{-1}e_2=\begin{bmatrix}
-7 \\
-1\\
2
\end{bmatrix} $
$x_3=A^{-1}e_3=\begin{bmatrix}
4 \\
1\\
-1
\end{bmatrix} $
