Answer
$y=C_{1}e^t+C_{2}cos(t)+C_{3}sin(t)-\frac{1}{2}cos(t)ln|cos(t)|+\frac{1}{2}sin(t)ln|cos(t)|-\frac{1}{2}tcos(t)-\frac{1}{2}tsin(t)+\frac{1}{2} \int_{t_{0}}^{t}\frac{e^{-s}}{cos(s)}\;ds$
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Let $\;\;\;\;\;y=e^{rt}\\\\$
${y}'''-{y}''+{y}'-y=0 \;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\; r^3e^{rt}-r^2e^{rt}+re^{rt}-e^{rt}=0\\\\$
$r^3-2r^2+r-1=(r-1)(r^2+1)=0 $
$ \rightarrow\;\;\;\;\; r_{1}=1\;\;\;\;\;\;\;or\;\;\;\;,r_{2,3}=\pm i\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\\$
$\boxed{y_{c}(t)= C_{1}e^t+C_{2}cos(t)+C_{3}sin(t)}$
$y_{1}=e^t\;\;\;\;\;,\;\;y_{2}=cos(t)\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;y_{3}=sin(t)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$
$W(e^t,cos(t),sin(t))=\begin{vmatrix}
e^t & cos(t) & sin(t) \\
e^t & -sin(t) & cos(t) \\
e^t & cos(t) & -sin(t) \\
\end{vmatrix}\;=\;2e^t$
$W_{1}=\begin{vmatrix}
0 & cos(t) & sin(t) \\
0 & -sin(t) & cos(t) \\
sec(t) & cos(t) & -sin(t) \\
\end{vmatrix}\;=\;sec(t)$
$W_{2}=\begin{vmatrix}
e^t & 0 & sin(t) \\
e^t & 0 & cos(t) \\
e^t & sec(t) & -sin(t) \\
\end{vmatrix}\;=\;e^t(tan(t)-1)$
$W_{3}=\begin{vmatrix}
e^t & cos(t) & 0 \\
e^t & -sin(t) & 0 \\
e^t & cos(t) & sec(t) \\
\end{vmatrix}\;=\;-e^t(tan(t)+1)$
${u}'_{1}=\frac{w_{1}}{w}=\frac{e^{-t}}{2cos(t)}$
$u_{1}=\int \frac{e^{-t}}{2cos(t)}=\frac{1}{2} \int_{t_{0}}^{t}\frac{e^{-t}}{cos(t)}\;dt$
${u}'_{2}=\frac{w_{2}}{w}=\frac{tan(t)-1}{2}$
$u_{2}=\int \frac{tan(t)-1}{2}= -\frac{1}{2}(ln|cos(t)|-\frac{1}{2}t)$
${u}'_{3}=\frac{w_{3}}{w}=\frac{-tan(t)-1}{2}$
$u_{3}=\int \frac{-tan(t)-1}{2}= \frac{1}{2}(ln|cos(t)|-\frac{1}{2}t) $
$y_{p}=y_{1}u_{1}+y_{2}u_{2}+y_{3}u_{3}$
$y_{p}=-\frac{1}{2}(cos(t))ln|cos(t)|+\frac{1}{2}sin(t)ln|cos(t)|-\frac{1}{2}tcos(t)-\frac{1}{2}tsin(t)+\frac{1}{2} \int_{t_{0}}^{t}\frac{e^{-t}}{cos(t)}\;dt$
$y=y_{c}+y_{p}$
$y=C_{1}e^t+C_{2}cos(t)+C_{3}sin(t)-\frac{1}{2}cos(t)ln|cos(t)|+\frac{1}{2}sin(t)ln|cos(t)|-\frac{1}{2}tcos(t)-\frac{1}{2}tsin(t)+\frac{1}{2} \int_{t_{0}}^{t}\frac{e^{-s}}{cos(s)}\;ds$
