Answer
$y=C_{1}cos(t)+C_{2}sin(t)+C_{3}tcos(t)+C_{4}tsin(t)-\frac{1}{8}t^2sin(t)$
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Let $\;\;\;\;\;y=e^{rt}\\\\$
${y}^{(4)}+2{y}''+y=0 \;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\; r^4e^{rt}+2r^2e^{rt}+e^{rt}=0\\\\$
$r^4+2r^2+1=(r^2+1)(r^2+1)=0 $
$ \rightarrow\;\;\;\;\; r_{1,2}=\pm i\;\;\;\;\;\;\;or\;\;\;\;,r_{3,4}=\pm i\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\\$
$\boxed{y_{c}(t)= C_{1}cos(t)+C_{2}sin(t)+C_{3}tcos(t)+C_{4}tsin(t)}$
$y_{1}=cos(t)\;\;\;\;\;,\;\;y_{2}=sin(t)\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;y_{3}=tcos(t)\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;\;y_{4}=tsin(t)$
$W(cos(t),sin(t),tcos(t),tsin(t))=\begin{vmatrix}
cos(t) & sin(t) & tcos(t) & tsin(t) \\
-sin(t) & cos(t) & -tsin(t)+cos(t) & tcos(t)+sin(t) \\
-cos(t) & -sin(t) & -tcos(t)-2sin(t) & -tsin(t)+2cos(t) \\
sin(t) & -cos(t) & tsin(t)-3cos(t) & -tcos(t)-3sin(t) \\
\end{vmatrix}\;=\;4$
$W_{1}=\begin{vmatrix}
0 & sin(t) & tcos(t) & tsin(t) \\
0 & cos(t) & -tsin(t)+cos(t) & tcos(t)+sin(t) \\
0 & -sin(t) & -tcos(t)-2sin(t) & -tsin(t)+2cos(t) \\
sin(t) & -cos(t) & tsin(t)-3cos(t) & -tcos(t)-3sin(t) \\
\end{vmatrix}\;=\;2sin(t)\{tcos(t)-sin(t)\}$
$W_{2}=\begin{vmatrix}
cos(t) & 0 & tcos(t) & tsin(t) \\
-sin(t) & 0 & -tsin(t)+cos(t) & tcos(t)+sin(t) \\
-cos(t) & 0 & -tcos(t)-2sin(t) & -tsin(t)+2cos(t) \\
sin(t) & sin(t) & tsin(t)-3cos(t) & -tcos(t)-3sin(t) \\
\end{vmatrix}\;=\;2sin(t)\{tsin(t)+cos(t)\}$
$W_{3}=\begin{vmatrix}
cos(t) & sin(t) & 0 & tsin(t) \\
-sin(t) & cos(t) & 0 & tcos(t)+sin(t) \\
-cos(t) & -sin(t) & 0 & -tsin(t)+2cos(t) \\
sin(t) & -cos(t) & sin(t) & -tcos(t)-3sin(t) \\
\end{vmatrix}\;=\;-2sin(t)cos(t)$
$W_{4}=\begin{vmatrix}
cos(t) & sin(t) & tcos(t) & 0 \\
-sin(t) & cos(t) & -tsin(t)+cos(t) & 0 \\
-cos(t) & -sin(t) & -tcos(t)-2sin(t) & 0 \\
sin(t) & -cos(t) & tsin(t)-3cos(t) & sin(t) \\
\end{vmatrix}\;=\;-2sin^2(t)$
${u}'_{1}=\frac{w_{1}}{w}=\frac{1}{2}sin(t)\{tcos(t)-sin(t)\}$
$u_{1}=\int \frac{1}{2}sin(t)\{tcos(t)-sin(t)\}= \frac{1}{16}\{-4t+3sin(2t)-2tcos(2t)\}$
${u}'_{2}=\frac{w_{2}}{w}=\frac{1}{2}sin(t)\{tsin(t)+cos(t)\}$
$u_{2}=\int \frac{1}{2}sin(t)\{tsin(t)+cos(t)\}= \frac{1}{16}(2t^2-3cos(2t)-2tsin(2t))$
${u}'_{3}=\frac{w_{3}}{w}=-\frac{1}{2}sin(t)cos(t)$
$u_{3}=\int -\frac{1}{2}sin(t)cos(t)= \frac{1}{4}cos^{2}(t) $
${u}'_{4}=\frac{w_{4}}{w}=-\frac{1}{2}sin^2(t)$
$u_{4}=\int -\frac{1}{2}sin^2(t)= \frac{1}{8}(sin(2t)-2t) $
$y_{p}=y_{1}u_{1}+y_{2}u_{2}+y_{3}u_{3}+y_{4}u_{4}$
$y_{p}=-\frac{1}{8}t^2sin(t)-\frac{3}{8}tcos(t)+\frac{3}{16}sin(t)$
$y=y_{c}+y_{p}\\\\$
The terms $-\frac{3}{8}tcos(t)\;\;,\;\;\frac{3}{16}sin(t)$ will be absorbed in $C_{1}cos(t)\;\;,\;\;C_{2}sin(t)$
$y=C_{1}cos(t)+C_{2}sin(t)+C_{3}tcos(t)+C_{4}tsin(t)-\frac{1}{8}t^2sin(t)$
