Answer
$y=C_{1}+C_{2}e^t+C_{3}e^{-t}-\frac{1}{2}t^2$
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Let $\;\;\;\;\;y=e^{rt}\\\\$
${y}'''-{y}'=0 \;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\; r^3e^{rt}-re^{rt}=0\\\\$
$r^3-r=r(r^2-1)=0 $
$ \rightarrow\;\;\;\;\; r_{1}=0\;\;\;\;\;\;\;or\;\;\;\;,r_{2,3}=\pm 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\\$
$\boxed{y_{c}(t)= C_{1}+C_{2}e^t+C_{3}e^{-t}}$
$y_{1}=1\;\;\;\;\;,\;\;y_{2}=e^t\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;y_{3}=e^{-t}$
$W(1,e^t,e^{-t})=\begin{vmatrix}
1 & e^t & e^{-t} \\
0 & e^t & -e^{-t} \\
0 & e^t & e^{-t}
\end{vmatrix}\;=\;2$
$W_{1}=\begin{vmatrix}
0 & e^t & e^{-t} \\
0 & e^t & -e^{-t} \\
t & e^t & e^{-t}
\end{vmatrix}\;=\;-2t$
$W_{2}=\begin{vmatrix}
1 & 0 & e^{-t} \\
0 & 0 & -e^{-t} \\
0 & t & e^{-t}
\end{vmatrix}\;=\;te^{-t}$
$W_{3}=\begin{vmatrix}
1 & e^t & 0 \\
0 & e^t & 0 \\
0 & e^t & t
\end{vmatrix}\;=\;te^t$
${u}'_{1}=\frac{w_{1}}{w}=-t$
$u_(1)=\int -t= -\frac{1}{2}t^2$
${u}'_{2}=\frac{w_{2}}{w}=\frac{1}{2}te^{-t}$
$u_{2}=\int \frac{1}{2}te^{-t}= -\frac{1}{2}(1+t)e^{-t}$
${u}'_{3}=\frac{w_{3}}{w}=\frac{1}{2}te^{t}$
$u_{3}=\int \frac{1}{2}te^{t}= \frac{1}{2}(t-1)e^{-t}$
$y_{p}=y_{1}u_{1}+y_{2}u_{2}+y_{3}u_{3}$
$y_{p}=-\frac{1}{2}t^2$
$y=y_{c}+y_{p}$
$y=C_{1}+C_{2}e^t+C_{3}e^{-t}-\frac{1}{2}t^2$
