Answer
$y=C_{1}e^{t}+C_{2}cos(t)+C_{3}sin(t)-\frac{1}{5}e^{-t}cos(t)$
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Let $\;\;\;\;\;y=e^{rt}\\\\$
${y}'''-{y}''+{y}'-y=0 \;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\; r^3e^{rt}-r^2e^{rt}+re^{rt}+e^{rt}=0\\\\$
$r^3-r^2+r+1=(r-1)(r^2+1)=0 $
$ \rightarrow\;\;\;\;\; r_{1}=1\;\;\;\;\;\;\;or\;\;\;\;,r_{2,3}=\pm i\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\\$
$\boxed{y_{c}(t)= C_{1}e^{t}+C_{2}cos(t)+C_{3}sin(t)}$
$y_{1}=e^t\;\;\;\;\;,\;\;y_{2}=cos(t)\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;y_{3}=sin(t)$
$W(e^t,cos(t),sin(t))=\begin{vmatrix}
e^t & cos(t) & sin(t) \\
e^t & -sin(t) & -cos(t) \\
e^t & -cos(t) & -sin(t)
\end{vmatrix}\;=\;2e^t$
$W_{1}=\begin{vmatrix}
0 & cos(t) & sin(t) \\
0 & -sin(t) & -cos(t) \\
e^{-t}sin(t) & -cos(t) & -sin(t)
\end{vmatrix}\;=\;e^{-t}sin(t)$
$W_{2}=\begin{vmatrix}
e^t & 0 & sin(t) \\
e^t & 0 & -cos(t) \\
e^t & e^{-t}sin(t) & -sin(t)
\end{vmatrix}\;=\;sin^2(t)-sin(t)cos(t)$
$W_{3}=\begin{vmatrix}
e^t & cos(t) & 0 \\
e^t & -sin(t) & 0 \\
e^t & -cos(t) & e^{-t}sin(t)
\end{vmatrix}\;=\;-sin^2(t)-sin(t)cos(t)$
${u}'_{1}=\frac{w_{1}}{w}=e^{-t}sin(t)$
$u_{1}=\int e^{-t}sin(t)= -\frac{1}{10}e^{-2t}(2sin(t)+cos(t))$
${u}'_{2}=\frac{w_{2}}{w}=\frac{1}{2}e^{-t}(sin^2(t)-sin(t)cos(t))$
$u_{2}=\int \frac{1}{2}e^{-t}(sin^2(t)-sin(t)cos(t))= \frac{1}{20}e^{-t}(-sin(2t)+3cos(2t)-5)$
${u}'_{3}=\frac{w_{3}}{w}=-\frac{1}{2}e^{-t}(sin^2(t)-sin(t)cos(t))$
$u_{3}=\int -\frac{1}{2}e^{-t}(sin^2(t)-sin(t)cos(t))= \frac{1}{20}e^{-t}(3sin(2t)+cos(2t)+5) $
$y_{p}=y_{1}u_{1}+y_{2}u_{2}+y_{3}u_{3}$
$y_{p}=-\frac{1}{5}e^{-t}cos(t)$
$y=y_{c}+y_{p}$
$y=C_{1}e^{t}+C_{2}cos(t)+C_{3}sin(t)-\frac{1}{5}e^{-t}cos(t)$
