Answer
$$ - \frac{1}{2}{e^x}\cos x + \frac{1}{2}{e^x}\sin x + C$$
Work Step by Step
$$\eqalign{
& \int {{e^x}\sin x} dx \cr
& u = {e^x},{\text{ }}du = {e^x}dx \cr
& dx = \sin xdx,{\text{ }}v = - \cos x \cr
& {\text{integration by parts }}\int {uvdv} = uv - \int {vdu} \cr
& \int {{e^x}\sin x} dx = - {e^x}\cos x - \int {\left( { - \cos x} \right)\left( {{e^x}} \right)dx} \cr
& \int {{e^x}\sin x} dx = - {e^x}\cos x + \int {{e^x}\cos x} dx \cr
& u = {e^x},{\text{ }}du = {e^x}dx \cr
& dx = \cos xdx,{\text{ }}v = \sin x \cr
& \int {{e^x}\sin x} dx = - {e^x}\cos x + \left( {{e^x}\sin x - \int {{e^x}\sin xdx} } \right) \cr
& \int {{e^x}\sin x} dx = - {e^x}\cos x + {e^x}\sin x - \int {{e^x}\sin xdx} \cr
& \int {{e^x}\sin x} dx + \int {{e^x}\sin xdx} = - {e^x}\cos x + {e^x}\sin x + C \cr
& 2\int {{e^x}\sin x} dx = - {e^x}\cos x + {e^x}\sin x + C \cr
& {\text{divide by 2}} \cr
& \int {{e^x}\sin x} dx = - \frac{1}{2}{e^x}\cos x + \frac{1}{2}{e^x}\sin x + C \cr} $$
