Chapter 7 - Eigenvalues and Eigenvectors - 7.1 Eigenvalues and Eigenvectors - 7.1 Exercises - Page 350: 8

See below.

Because $\begin{bmatrix} 4&-1& 3 \\ 0&2& 1\\ 0&0&3\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 4 \\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} =4 \begin{bmatrix} 1 \\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} $ and $\begin{bmatrix} 4&-1& 3 \\ 0&2& 1\\ 0&0&3\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2\\ 0\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 \\ 4\\ 0\\ \end{bmatrix} =2 \begin{bmatrix} 1 \\ 2\\ 0\\ \end{bmatrix} $ and $\begin{bmatrix} 4&-1& 3 \\ 0&2& 1\\ 0&0&3\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 1\\ 1\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -6 \\ 3\\ 3\\ \end{bmatrix} =3 \begin{bmatrix} -2 \\ 1\\ 1\\ \end{bmatrix} $ we have proved what we wanted to.