Chapter 7 - Eigenvalues and Eigenvectors - 7.1 Eigenvalues and Eigenvectors - 7.1 Exercises - Page 350: 5

See below.

Because $\begin{bmatrix} 2&3& 1 \\ 0&-1& 2\\ 0&0&3\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 \\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} =2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} $ and $\begin{bmatrix} 2&3& 1 \\ 0&-1& 2\\ 0&0&3\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1\\ 0\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -1 \\ 1\\ 0\\ \end{bmatrix} =-1 \begin{bmatrix} 1 \\ -1\\ 0\\ \end{bmatrix} $ and $\begin{bmatrix} 2&3& 1 \\ 0&-1& 2\\ 0&0&3\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 1\\ 2\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 15 \\ 3\\ 6\\ \end{bmatrix} =3 \begin{bmatrix} 5 \\ 1\\ 2\\ \end{bmatrix} $ we have proved what we wanted to.