Answer
$x=4$
$y=-2$
$z=3$
Work Step by Step
First identify the matrices $A,X,B$ and write the system in the form $AX=B$:
$A=\begin{bmatrix}1&-1&2\\0&1&-1\\1&0&2\end{bmatrix}$
$X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}$
$B=\begin{bmatrix}12\\-5\\10\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}1&-1&2\\0&1&-1\\1&0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}12\\-5\\10\end{bmatrix}$
We have to determine the solution of the system, $X$:
$X=A^{-1}B$
Determine $A^{-1}$:
$[A|I_3]=\begin{bmatrix}1&-1&2&|&1&0&0\\0&1&-1&|&0&1&0\\1&0&2&|&0&0&1\end{bmatrix}$
Add $-R_1$ to $R_3$:
$\begin{bmatrix}1&-1&2&|&1&0&0\\0&1&-1&|&0&1&0\\0&1&0&|&-1&0&1\end{bmatrix}$
Add $R_2$ to $R_1$ and $-R_2$ to $R_3$:
$\begin{bmatrix}1&0&1&|&1&1&0\\0&1&-1&|&0&1&0\\0&0&1&|&-1&-1&1\end{bmatrix}$
Add $-R_3$ to $R_1$ and $R_3$ to $R_2$:
$\begin{bmatrix}1&0&0&|&2&2&-1\\0&1&0&|&-1&0&1\\0&0&1&|&-1&-1&1\end{bmatrix}$
$A^{-1}=\begin{bmatrix}2&2&-1\\-1&0&1\\-1&-1&1\end{bmatrix}$
Determine the solution of the system:
$X=A^{-1}B$
$X=A^{-1}=\begin{bmatrix}2&2&-1\\-1&0&1\\-1&-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}12\\-5\\10\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}24-10-10\\-12-0+10\\-12+5+10\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}4\\-2\\3\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\-2\\3\end{bmatrix}$
The solution is:
$x=4$
$y=-2$
$z=3$
