Answer
$A^{-1}=\begin{bmatrix}8&-8&5\\-3&2&-1\\-1&-1&1\end{bmatrix}$
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We are given the matrix:
$A=\begin{bmatrix}1&3&-2\\4&13&-7\\5&16&-8\end{bmatrix}$
Build the matrix $[A|I_3]$:
$[A|I_3]=\begin{bmatrix}1&3&-2&|&1&0&0\\4&13&-7&|&0&1&0\\5&16&-8&|&0&0&1\end{bmatrix}$
We will determine the matrix $[I_3|A^{-1}]$.
Add $-4R_1$ to $R_2$ and $-5R_1$ to $R_3$:
$\begin{bmatrix}1&3&-2&|&1&0&0\\0&1&1&|&-4&1&0\\0&1&2&|&-5&0&1\end{bmatrix}$
Add $-3R_2$ to $R_1$ and $-R_2$ to $R_3$:
$\begin{bmatrix}1&0&-5&|&13&-3&0\\0&1&1&|&-4&1&0\\0&0&1&|&-1&-1&1\end{bmatrix}$
Add $5R_3$ to $R_1$ and $-R_3$ to $R_2$:
$\begin{bmatrix}1&0&0&|&8&-8&5\\0&1&0&|&-3&2&-1\\0&0&1&|&-1&-1&1\end{bmatrix}=[I_3|A^{-1}]$
So the inverse $A^{-1}$ is:
$A^{-1}=\begin{bmatrix}8&-8&5\\-3&2&-1\\-1&-1&1\end{bmatrix}$
