Answer
$A^{-1}=\begin{bmatrix}3&0&-2\\-6&1&4\\1&0&-1\end{bmatrix}$
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We are given the matrix:
$A=\begin{bmatrix}1&0&-2\\2&1&0\\1&0&-3\end{bmatrix}$
Build the matrix $[A|I_3]$:
$[A|I_3]=\begin{bmatrix}1&0&-2&|&1&0&0\\2&1&0&|&0&1&0\\1&0&-3&|&0&0&1\end{bmatrix}$
We will determine the matrix $[I_3|A^{-1}]$.
Add $-2R_1$ to $R_2$ and $-R_1$ to $R_3$:
$\begin{bmatrix}1&0&-2&|&1&0&0\\0&1&4&|&-2&1&0\\0&0&-1&|&-1&0&1\end{bmatrix}$
Multiply $R_3$ by -1:
$\begin{bmatrix}1&0&-2&|&1&0&0\\0&1&4&|&-2&1&0\\0&0&1&|&1&0&-1\end{bmatrix}$
Add $2R_3$ to $R_1$ and $-4R_3$ to $R_2$:
$\begin{bmatrix}1&0&0&|&3&0&-2\\0&1&0&|&-6&1&4\\0&0&1&|&1&0&-1\end{bmatrix}=[I_3|A^{-1}]$
So the inverse $A^{-1}$ is:
$A^{-1}=\begin{bmatrix}3&0&-2\\-6&1&4\\1&0&-1\end{bmatrix}$
