Answer
$\color{blue}{F_Y(y) = \begin{cases} 0, & y \lt 0 \\ 1 - e^{\lambda y}, & y \ge 0 \end{cases}} $
Work Step by Step
$\begin{align*}
F_Y(y) &= P(Y\le y) \\
&= \int^y_{-\infty} f_Y(u)\ du \\
&= \begin{cases} \displaystyle \int^y_{-\infty} 0 \ du, & y \lt 0 \\ \displaystyle\int^0_{-\infty} 0\ du + \int^y_0 \lambda e^{\lambda u}\ du, & y \ge 0 \end{cases} \\
&= \begin{cases} 0, & y \lt 0 \\ 0 + \left( \lambda \dfrac{e^{-\lambda u}}{-\lambda}\right]_0^y, & y \ge 0 \end{cases} \\
&= \begin{cases} 0, & y \lt 0 \\ \left( -e^{-\lambda u}\right]_0^y, & y \ge 0 \end{cases} \\
&= \begin{cases} 0, & y \lt 0 \\ \left(-e^{-\lambda y} -(- e^{0})\right), & y \ge 0 \end{cases} \\
\color{blue}{F_Y(y)} &\color{blue}{= \begin{cases} 0, & y \lt 0 \\ 1 - e^{\lambda y}, & y \ge 0 \end{cases}} \\
\end{align*}$
