Answer
$ y=-x\ln(-\ln(x)-C)$ where $C \in \mathbb R$.
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$$x(vx)'=vx+xe^{v}$$
$$x(v'x+v)=vx+xe^{v}$$
$$xv'x+vx=vx+xe^{v}$$
$$xv'x=xe^{v}$$
$$xv'=e^{v}$$
$$x\frac{dv}{dx}=e^{v}$$
$$\frac{dv}{e^{v}}=\frac{1}{x}dx$$
$$ \int \frac{dv}{e^{v}}=\int \frac{1}{x}dx$$
$$ -e^{-v}=\ln(x)+C$$
$$ e^{-v}=-\ln(x)-C$$
$$ v=-\ln(-\ln(x)-C)$$
$$ \frac{y}{x}=-\ln(-\ln(x)-C)$$
$$ y=-x\ln(-\ln(x)-C)$$
