Answer
$50+105(x-2)+92(x-2)^{2}+42(x-2)^{3}+10(x-2)^{4}+(x-2)^{5}$
and
$R=\infty$
Work Step by Step
Taylor's series of $f$ centered at $a$ is
$f(x)=\dfrac{f^{n}(a)(x-a)^{n}}{(n)!}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)(x-a)^{2}}{2}+\frac{f'''(a)(x-a)^{3}}{6}+....$
Given: $f(x)=x^{5}+2x^{3}+x$
$x^{5}+2x^{3}+x=50+105(x-2)+\frac{184(x-2)^{2}}{2}+\frac{252(x-2)^{3}}{6}+\frac{240(x-2)^{4}}{24}+\frac{120(x-2)^{5}}{120}$
$=50+105(x-2)+92(x-2)^{2}+42(x-2)^{3}+10(x-2)^{4}+(x-2)^{5}$
and
Since, the Taylor polynomial for given function only has finite number of terms , it converges for all values of $x$, so $R=\infty$.
