Answer
For the function to be continuous $b=-3$ and $c=4.$
Work Step by Step
$|x-2|\ge1\to x-2\ge1$ or $x-2\le1\to x\ge3$ or $x\le1.$
Hence $f(x)=x^2+bx+c$ for $x\le1$ or $x\ge3.$
$\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}(x^2+bx+c)=(1^-)^2+b(1^-)+c=1+b+c.$
$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}(x+1)=1^++1=2.$
$\lim\limits_{x\to3^-}f(x)=\lim\limits_{x\to3^-}(x+1)=3^-+1=4.$
$\lim\limits_{x\to3^+}f(x)=\lim\limits_{x\to3^+}(x^2+bx+c)=(3^+)^2+b(3^+)+c=9+3b+c.$
For the function to be continuous, $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}f(x)$ and $\lim\limits_{x\to3^-}f(x)=\lim\limits_{x\to3^+}f(x)\to$
$2=1+b+c$ and $4=9+3b+c$
Solving the system of equations gives us $(-5-1)=(3-1)b+(1-1)c\to-6=2b\to b=-3\to$
$2=1+(-3)+c\to c=4.$
