Answer
See below
Work Step by Step
Given $y_1(x)=e^{-2x}\cos 3x\\
y_2(x)=e^{-2x}\sin 3x\\
y_3(x)=e^{-4x}\\
\rightarrow y_1'''(x)=e^{-2x}(46\cos 3x -9\sin 3x)\\
y_1''(x)=e^{-2x}(-5\cos 3x +12\sin 3x)\\
y_1'(x)=-e^{-2x}(2\cos 3x +3\sin 3x)$
Do the same for $y_2,y_3$, we get:
$\rightarrow y_2'''(x)=e^{-2x}(9\cos 3x +46\sin 3x)\\
y_2''(x)=-e^{-2x}(12\cos 3x +5\sin 3x)\\
y_2'(x)=e^{-2x}(9\cos 3x +46\sin 3x)\\
\rightarrow y_3'''(x)=-64e^{-4x}\\
y_3''(x)=16e^{-4x}\\
y_3'(x)=-4e^{-4x}$
Obtain $det=\begin{vmatrix}
y_1 & y_2 & y_3\\
y_1' & y_2' & y_3' \\ y_1'' & y_2'' & y_3''
\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}
e^{-2x}\cos 3x & e^{-2x}\sin 3x x & e^{-4x} \\e^{-2x}(2\cos 3x +3\sin 3x) & e^{-2x}(9\cos 3x+46\sin 3x) & -4e^{-4x} \\e^{-2x}(-5\cos 3x+12\sin 3x) & e^{-2x}(12\cos 3x+5\sin 3x) & 16e^{-4x}
\end{vmatrix}\\
=39e^{-8x}\ne 0$
