#### Answer

$\rho =e$

#### Work Step by Step

$\sum_{\infty }^{n=1}(\frac{n!x^n}{n^n})$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\rightarrow \;\;\;\;\;\;\; \lim_{n\rightarrow \infty} \left | \frac{(n+1)!x^{(n+1)}}{(n+1)^{(n+1)}}\;.\;\frac{n^n}{n!x^n} \right |
= \lim_{n\rightarrow \infty} \left | x\frac{n^n}{(n+1)^n} \right | = |\frac{x}{e}|$
$|\frac{x}{e}|<1\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;|x|< e$
$\rho =e$