Answer
convergent and sum is $-(\frac{x+2}{x+1})$.
Work Step by Step
Given: $\Sigma^{\infty}_{n=1} (x+2)^{n}$
$\Sigma^{\infty}_{n=1} (x+2)^{n}=(x+2)^{1}+(x+2)^{2}+(x+2)^{3}+...$
Here, $a=x+2$ and $r=x+2$
Also,
$|r| \lt 1$
$|x+2| \lt 1$
$-1 \lt x+2 \lt 1$
Thus, $-3 \lt x \lt -1$
Therefore , the series is convergent.
The sum is
$S_{\infty} = \frac{x+2}{1-(x+2)}$
$=\frac{x+2}{-1-x}$
$=-(\frac{x+2}{x+1})$
