Answer
See below
Work Step by Step
Given: $x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\\
y=(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5) \in R^5$
and $s,t,r \in R$
Property $4.1.5$: $1x=1(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(1.x_1,1.x_2,1.x_3,1.x4,1.x_5)=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=x$
Property $4.1.6$: $(st)x=(st)(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=((st)x_1,(st)x_2,(st)x_3,(st)x_4,(st)x_5)=(s(tx_1),s(tx_2),s(tx_3),s(tx_4),s(tx_5))=s(tx_1,tx_2,tx_3,tx_4,tx_5)=s(t(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5))=s(tx)$
Property $4.1.7$: $r(x+y)=r[(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)+(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5)]=r(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3,x_4+y_4,x_5+y_5)=(rx_1+ry_1,rx_2+ry_2,rx_3+ry_3,rx_4+ry_4,rx_5+ry_5)=(rx_1,rx_2,rx_3,rx_4,rx_5)+(ry_1,ry_2,ry_3,ry_4,ry_5)=r(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)+r(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5)=rx+ry$
Property $4.1.8$: $(s+t)x=(s+t)(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=[(s+t)x_1,(s+t)x_2),(s+t)x_3,(s+t)x_4,(s+t)x_5]=(sx_1+tx_1,sx_2+tx_2,sx_3+tx_3,sx_4+tx_4,sx_5+tx_5)=(sx_1,sx_2,sx_3,sx_4,sx_5)+(tx_1,tx_2,tx_3,tx_4,tx_5)=s(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)+t(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=sx+tx$
