Answer
See below
Work Step by Step
Given: $x=(x_1,x_2,x_3)\\
y=(y_1,y_2,y_3) \in R^3$
and $s,t,r \in R$
Property $4.1.5$: $1x=1(x_1,x_2,x_3)=(1.x_1,1.x_2,1.x_3)=(x_1,x_2,x_3)=x$
Property $4.1.6$: $(st)x=(st)(x_1,x_2,x_3)=((st)x_1,(st)x_2,(st)x_3)=(s(tx_1),s(tx_2),s(tx_3))=s(tx_1,tx_2,tx_3)=s(t(x_1,x_2,x_3))=s(tx)$
Property $4.1.7$: $r(x+y)=r[(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)]=r(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)=(rx_1+ry_1,rx_2+ry_2,rx_3+ry_3)=(rx_1,rx_2,rx_3)+(ry_1,ry_2,ry_3)=r(x_1,x_2,x_3)+r(y_1,y_2,y_3)=rx+ry$
Property $4.1.8$: $(s+t)x=(s+t)(x_1,x_2,x_3)=[(s+t)x_1,(s+t)x_2),(s+t)x_3]=(sx_1+tx_1,sx_2+tx_2,sx_3+tx_3)=(sx_1,sx_2,sx_3)+(tx_1,tx_2,tx_3)=s(x_1,x_2,x_3)+t(x_1,x_2,x_3)=sx+tx$
