Answer
The identity is verified.
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}~[cos(θ_1-θ_2)+i~sin(θ_1-θ_2)]$
Work Step by Step
Remember:
$cos(θ_1-θ_2)=cos~θ_1~cos~θ_2+~sin~θ_1~sin~θ_2$
$sin(θ_1-θ_2)=sin~θ_1~cos~θ_2-cos~θ_1~sin~θ_2$
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1(cos~θ_1+i~sin~θ_1)}{r_2(cos~θ_2+i~sin~θ_2)}=\frac{r_1(cos~θ_1+i~sin~θ_1)}{r_2(cos~θ_2+i~sin~θ_2)}\frac{cos~θ_2-i~sin~θ_2}{cos~θ_2-i~sin~θ_2}=\frac{r_1(cos~θ_1~cos~θ_2-i~cos~θ_1~sin~θ_2+i~sin~θ_1~cos~θ_2-i^2~sin~θ_1~sin~θ_2)}{r_2(cos^2~θ_2-i^2~sin^2~θ_2)}=\frac{r_1[(cos~θ_1~cos~θ_2+~sin~θ_1~sin~θ_2)+i(sin~θ_1~cos~θ_2-cos~θ_1~sin~θ_2)]}{r_2(cos^2~θ_2+~sin^2~θ_2)}=\frac{r_1[cos(θ_1-θ_2)+i~sin(θ_1-θ_2)]}{r_2}=\frac{r_1}{r_2}~[cos(θ_1-θ_2)+i~sin(θ_1-θ_2)]$
