Answer
$y'+y$ = $\frac{2}{1+4e^{2x}}$
and
$y(-\ln2)$= $\frac{\pi}{2}$
Work Step by Step
$y$ = $e^{-x}tan^{-1}(2e^{x})$
$y'$ = $e^{-x}\frac{d}{dx}(tan^{-1}(2e^{x}))+tan^{-1}(2e^{x})\frac{d}{dx}(e^{-x})$
$y'$ = $\frac{e^{-x}}{1+4e^{2x}}-(e^{-x})tan^{-1}(2e^{x})$
$y'$ = $e^{-x}(\frac{2e^{x}}{1+4e^{2x}}-tan^{-1}(2e^{x}))$
$y'+y$ = $[e^{-x}(\frac{2e^{x}}{1+4e^{2x}}-tan^{-1}(2e^{x}))]+e^{-x}tan^{-1}(2e^{x})$
$y'+y$ = $e^{-x}[\frac{2e^{x}}{1+4e^{2x}}-tan^{-1}(2e^{x})+tan^{-1}(2e^{x})]$
$y'+y$ = $\frac{2}{1+4e^{2x}}$
$y(-\ln2)$= $e^{\ln2}tan^{-1}(2e^{-\ln2})$
$y(-\ln2)$= $2tan^{-1}(1)$
$y(-\ln2)$= $2(\frac{\pi}{4})$
$y(-\ln2)$= $\frac{\pi}{2}$
