Answer
$ln(2)+\Sigma_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^{n}}{2^{n}n}(-1)^{n+1}$
and $R=2$
Work Step by Step
$lnx=ln(2)+\Sigma_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^{n}}{2^{n}n}(-1)^{n+1}$
$\lim\limits_{n \to \infty}|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{\frac{(x-2)^{n+1}(-1)^{n+2}}{2^{n+1}(n+1)}}{\frac{(x-2)^{n}(-1)^{n+1}}{2^{n}n}}|$
$=\lim\limits_{n \to\infty}|\frac{x-2}{2}|$
The series will converge when $|\frac{x-2}{2}|\lt 1$, or $|x-2|\lt 2$ so $R=2$.
