Answer
$1$
Work Step by Step
$y=\tan(2x)^x$
$\ln y = x\cdot \ln(\tan(2x))$
$\lim_{x\rightarrow 0^+} \ln y = \lim_{x\rightarrow 0^+} (x\cdot \ln(\tan(2x)))$
$=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\ln(\tan (2x))}{\frac{1}{x}}$
$=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\frac{1}{\tan(2x)}\cdot 2\sec^2(2x)}{-\frac{1}{x^2}}$
$=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{-2\sec^2 (2x)\cdot x^2}{\tan(2x)}$
$=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{-2x^2}{\sin(2x)\cos(2x)}$
$=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{-x}{\cos(2x)}$
$=0$.
$\lim_{x\rightarrow 0^+}y=e^0=1.$
