Answer
$$
w_x =\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}-\frac{3x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}, \\
w_y= -\frac{3xy}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}, \\
w_z= -\frac{3xz}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}.
$$
Work Step by Step
Since $ w=\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}= x(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}$, then using the product and chain rules, we have
$$
w_x= (x^2+y^2+z^2)^{-3/2}-\frac{3}{2} x(x^2+y^2+z^2)^{-5/2}(2x)=\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}-\frac{3x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}, \\
w_y= -\frac{3}{2} x(x^2+y^2+z^2)^{-5/2}(2y)= -\frac{3xy}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}, \\
w_z= -\frac{3}{2} x(x^2+y^2+z^2)^{-5/2}(2z)= -\frac{3xz}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}.
$$
