Answer
$\frac{1}{3}(x+2)^{3}+\frac{1}{2}[lnx-ln(x^{2}+3x+2)^{2}]=ln[\frac{\sqrt x}{(x+1)}]$
Work Step by Step
1. Use logarithmic properties $ln(pq) = lnp+lnq$, $ln(\frac{p}{q}) = lnp-lnq$ and $ln(p)^{m}= m lnp$.
$\frac{1}{3}(x+2)^{3}+\frac{1}{2}[lnx-ln(x^{2}+3x+2)^{2}]=\frac{1}{3}.3ln(x+2)+\frac{1}{2}lnx-\frac{1}{2}.2ln(x^{2}+3x+2)$
$=ln[(x+2)\times\sqrt x]-ln(x+1)(x+2)$
2. Use logarithmic property $ln(\frac{p}{q}) = lnp-lnq$
$\frac{1}{3}(x+2)^{3}+\frac{1}{2}[lnx-ln(x^{2}+3x+2)^{2}]$=$ln[\frac{(x+2)\sqrt x}{(x+1)(x+2)}]$
$\frac{1}{3}(x+2)^{3}+\frac{1}{2}[lnx-ln(x^{2}+3x+2)^{2}]=ln[\frac{\sqrt x}{(x+1)}]$
