Answer
$$0$$
Work Step by Step
\begin{aligned} \int_{-4}^{0} \frac{d x}{(x+2)^{1 / 3}} &=\int_{-4}^{-2} \frac{d x}{(x+2)^{1 / 3}}+\int_{-2}^{0} \frac{d x}{(x+2)^{1 / 3}} \\ &=\lim _{R \rightarrow-2^{-}} \int_{-4}^{R} \frac{d x}{(x+2)^{1 / 3}}+\lim _{R \rightarrow-2^{+}} \int_{R}^{0} \frac{d x}{(x+2)^{1 / 3}} \\ &=\left.\lim _{R \rightarrow-2^{-}} \frac{3}{2}(x+2)^{2 / 3}\right|_{-4} ^{R}+\lim _{R \rightarrow-2^{+}} \int_{R}^{0} \frac{d x}{(x+2)^{1 / 3}} \\ &=\frac{3}{2} \lim _{R \rightarrow-2^{-}}\left((R+2)^{2 / 3}-(-4+2)^{2 / 3}\right)+\frac{3}{2} \lim _{R \rightarrow-2^{+}}\left((0+2)^{2 / 3}-(R+2)^{2 / 3}\right) \\ &=\frac{3}{2}(0-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4}-0) \\ &=0 \end{aligned}
