Answer
$A^{-1}=\begin{bmatrix}
18 & -34&-1\\
-29 & 55 & 2\\
1& -2 & 0
\end{bmatrix}$
Work Step by Step
Given: $A=\begin{bmatrix}
4 & 2 & -13 \\
2& 1 & -7\\
3 & 2 & 4
\end{bmatrix}$
Using the Gauss-Jordan method we get:
$\begin{bmatrix}
4 & 2 & -13 | 1 & 0 & 0\\
2& 1 & -7 | 0 & 1 & 0\\
3 & 2 & 4 | 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \approx^1 \begin{bmatrix}
1& \frac{1}{2} & -\frac{13}{4} | \frac{1}{4} & 0& 0\\
2 & 1 & -7 | 0 & 1 & 0\\
3 & 2 & 4|0& 0 & 1
\end{bmatrix} \approx^2 \begin{bmatrix}
1& \frac{1}{2} & -\frac{13}{4} | \frac{1}{4} & 0& 0\\
2 & 1 & -7 | -\frac{1}{2} & 1 & 0\\
3 & 2 & 4| -\frac{3}{4}& 0 & 1
\end{bmatrix} \approx^3 \begin{bmatrix}
1& \frac{1}{2} & -\frac{13}{4} | \frac{1}{4} & 0 & 0\\
0 & 0 &-\frac{1}{2}| -\frac{1}{2}&1& 0\\
0 & \frac{1}{2} & \frac{55}{4} | -\frac{3}{4} & 0 & 1
\end{bmatrix} \approx^4 \begin{bmatrix}
1& \frac{1}{2} & -\frac{13}{4} | \frac{1}{4} &0 & 0\\
0 & \frac{1}{2} & \frac{55}{4} | -\frac{3}{4} & 0 & 2\\
0 & 0 &-\frac{1}{2}| -\frac{1}{2}& 1 & 0
\end{bmatrix} \approx^5 \begin{bmatrix}
1& \frac{1}{2} & -\frac{13}{4} | \frac{1}{4} & 0 & 0\\
0 & 1 & \frac{55}{2} | -\frac{3}{2} & 0 & 2\\
0 & 0 &-\frac{1}{2}| -\frac{1}{2}& 1 & 0
\end{bmatrix} \approx^6 \begin{bmatrix}
1& 0 & -17 | 1 & 0 & -1\\
0 & 1 & \frac{55}{2} | -\frac{3}{2} & 0 &2\\
0 & 0 & 1 | 1 & -2 & 0
\end{bmatrix} \approx^7 \begin{bmatrix}
1& 0 & 0 | 18 & -34 & -1\\
0 & 1 & 0 | -29 & 55 &2\\
0 & 0 & 1 | 1 & -2 & 0
\end{bmatrix}$
$\rightarrow A^{-1}=\begin{bmatrix}
18 & -34&-1\\
-29 & 55 & 2\\
1& -2 & 0
\end{bmatrix}$
Hence $A^{-1}$ exists. Check the answer by verifying that $AA^{-1}=I_n$
$AA^{-1}=\begin{bmatrix}
4 & 2 & -13 \\
2& 1 & -7\\
3 & 2 & 4
\end{bmatrix}. \begin{bmatrix}
18 & -34&-1\\
-29 & 55 & 2\\
1& -2 & 0
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
1& 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0& 1
\end{bmatrix}=I_3$
